设A和B都是m×n实矩阵，满足r(A+B)=n，证明ATA+BTB正定．

admin2017-10-21 39

问题设A和B都是m×n实矩阵，满足r(A+B)=n，证明A^TA+B^TB正定．

选项

答案用正定的定义证明．显然A^TA，B^TB都是n阶的实对称矩阵，从而A^TA+B^TB也是n阶实对称矩阵．由于r(A+B)=n，n元齐次线性方程组(A+B)X=0没有非零解．于是，当α是一个非零n维实的列向量时，(A+B)α≠0，因此Aα与Bα不会全是零向量，从而α^T(A^TA+B^TB)α=α^TA^TAα+α^TB^TBα=‖Aα‖²+‖Bα‖²＞0．根据定义，A^TA+B^TB正定．

解析

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