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设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα=2αz+α,Aα=2α+3α.求: (1)矩阵B,使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B. (2)矩阵A的特征值. (3)可逆阵P,使得P
设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα=2αz+α,Aα=2α+3α.求: (1)矩阵B,使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B. (2)矩阵A的特征值. (3)可逆阵P,使得P
admin
2020-09-25
67
问题
设A为三阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的三维列向量,且满足Aα
1
=α
1
+α
2
+α
3
,Aα=2αz+α,Aα=2α+3α.求:
(1)矩阵B,使得A(α
1
,α
2
,α
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)B.
(2)矩阵A的特征值.
(3)可逆阵P,使得P
-1
AP为对角阵.
选项
答案
(1)由题意知A(α
1
,α
2
,α
3
)=(α
1
+α
2
+α
3
,2α
2
+α
3
,2α
2
+3α
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)[*] 因此B=[*] (2)因为α
1
,α
2
,α
3
线性无关,由(1)得A~B,因此只需求B的特征值.B的特征多项式|λE一B|=[*]=(λ一1)
2
(λ一4),因此B的特征值为1,1,4,所以A的特征值也为1,1,4. (3)我们首先求B的特征向量. ①当λ=1时,解(E-B)x=0,得同解方程为x
1
+x
2
+2x
3
=0,因此对应特征向量为η
1
= (一2,0,1)
T
,η
2
=(一1,1,0)
T
; ②当λ=4时,解(4E—B)x=0,得同解方程为[*]得对应特征向量为η
3
=(0,1,1)
T
. 令P
1
=(η
1
,η
2
,η
3
)=[*],因此有P
1
-1
BP
1
=[*] 再令Q=(α
1
,α
2
,α
3
),由(1)得B=Q
-1
AQ. 因此有P
1
-1
Q
-1
AQP
1
=[*].即(QP
1
)
-1
A(QP
1
)=[*] 令P=QP
1
即得所求.
解析
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0
考研数学三
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