2. 考研
  3. 设A是3阶实对称矩阵，其主对角线元素都是0，并且α＝(1，2，－1)T满足Aα＝2α．(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)求正交矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

设A是3阶实对称矩阵，其主对角线元素都是0，并且α＝(1，2，－1)T满足Aα＝2α．(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)求正交矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

admin2018-06-12  43
问题 设A是3阶实对称矩阵，其主对角线元素都是0，并且α＝(1，2，－1)T满足Aα＝2α．(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)求正交矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．
选项
答案(Ⅰ)设A＝[*]，由Aα＝2α得到 [*]a12＝2，a13＝2，a23＝－2． 故A＝[*] (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式 ｜λE－A｜＝[*]＝(λ－2)2(λ＋4)， 得到矩阵A的特征值为λ1＝λ2＝2，λ3＝－4． 对于λ＝2，由(2E－A)χ＝0， [*] 得到属于λ＝2的特征向量α1＝(1，2，－1)T，α2＝(1，0，1)T． 对λ＝－4，由(－4E－A)χ＝0， [*] 得到属于λ＝－4的特征向量α3＝(－1，1，1)T． 因为α1，α2已正交，故只需单位化，有 [*] 那么，令P＝(γ1，γ2，γ3)＝[*] 则P-1AP＝∧＝[*]
解析
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考研数学一

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