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设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且P—1AP=.若P=(α1,α2,α3),Q=(α1+α2,α2,α3),则Q—1AQ= ( )
设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且P—1AP=.若P=(α1,α2,α3),Q=(α1+α2,α2,α3),则Q—1AQ= ( )
admin
2019-01-14
30
问题
设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且P
—1
AP=
.若P=(α
1
,α
2
,α
3
),Q=(α
1
+α
2
,α
2
,α
3
),则Q
—1
AQ= ( )
选项
A、
B、
C、
D、
答案
B
解析
由已知A相似于对角矩阵diag(1,1,2),知α
1
,α
2
,α
3
是A的3个线性无关特征向量,且依次属于特征值1,1,2.α
1
+α
2
≠O(否则α
1
,α
2
线性相关,与α
1
,α
2
,α
3
线性无关矛盾),且A(α
1
+α
2
)=Aα
1
+Aα
2
=α
1
+α
2
,因此α
1
+α
2
是A的属于特征值1的一个特征向量.
从而知α
1
+α
1
,α
2
,α
3
是A的3个线性无关特征向量,且依次属于特征值1,1,2,因此利用矩阵相似对角化可写出
(α
1
+α
1
,α
2
,α
3
)
—1
A(α
1
+α
1
,α
2
,α
3
)=diag(1,1,2),即Q
—1
AQ=diag(1,1,2).因此选(B).
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考研数学一
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