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判断下列函数在定义域内的有界性及单调性: (1) (2))y=x+lnx.
判断下列函数在定义域内的有界性及单调性: (1) (2))y=x+lnx.
admin
2021-08-18
64
问题
判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:
(1)
(2))y=x+lnx.
选项
答案
(1)函数的定义域为(-∞,+∞),当x≤0时,有[*];当x>0时,有[*]. 故[*]x∈(-∞,+∞)有y≤1/2,即函数),[*]有上界. 又因为函数[*]为奇函数,所以函数的图形关于原点对称.由对称性及函数有上界知,函数必有下界.因而函数[*]有界. 又由y
1
-y
2
=[*]知,当x
1
>x
2
且x
1
x
2
<1时,y
1
>y
2
; 而当x
1
>x
2
且x
1
x
2
>1时,y
1
<y
2
. 故函数[*]在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+∞). 因为[*]且x
1
>M;[*]x
1
>e
M
>0,使lnx
2
>M.取x
0
=max{x
1
,x
2
},则有x
0
+lnx
0
>x
1
+Inx
2
>2M>M.所以函数y=x+lnx在定义域内是无界的. 又当0<x
1
<x
2
时,有x
1
-x
2
<0,lnx
1
-lnx
2
<0,故y
1
-y
2
=(x
1
+lnx
1
)-(x
2
+lnx
2
)=(x
1
-x
2
)+(lnx
1
-lnx
2
)<0,即当O<x
1
<x
2
时,恒有y
1
<y
2
,所以函数y=x+lnx在(0,+∞)内单调增加.
解析
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数学题库普高专升本分类
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数学
普高专升本
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