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某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R万元与电台广告费x1万元及报纸广告费用x2万元之间的关系有如下经验公式： R=15+14x1+32x2－8x1x2－2x12－10x22． (1)在广告费用不限的情况下，求最优广告
某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R万元与电台广告费x1万元及报纸广告费用x2万元之间的关系有如下经验公式： R=15+14x1+32x2－8x1x2－2x12－10x22． (1)在广告费用不限的情况下，求最优广告
admin
2016-09-13
56
问题
某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R万元与电台广告费x
1
万元及报纸广告费用x
2
万元之间的关系有如下经验公式：
R=15+14x
1
+32x
2
－8x
1
x
2
－2x
1
2
－10x
2
2
．
(1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；
(2)若提供的广告费用为1．5万元，求相应的最优广告策略．
选项
答案
(1)利润函数为z=f(x
1
，x
2
)=15+14x
1
+32x
2
－8x
1
x
2
－2x
1
2
－10x
2
2
－(x
1
+x
2
) =15+13x
1
+31x
2
－8x
1
x
2
－2x
1
2
－10x
2
2
． 由[*] 函数z=f(x
1
，x
2
)在(0．75，1．25)的二阶导数为 [*] 由于B
2
－AC=64－80=－16＜0，A=－4＜0，所以函数z=f(x
1
，x
2
)在(0．75，1．25)处达到极大值，也即最大值．所以投入电台广告费0．75万元，报纸广告费1．25万元时，利润最大． (2)若广告费用为1．5万元，则需求利润函数z=f(x
1
，x
2
)在x
1
+x
2
=1．5时的条件极值． 构造拉格朗日函数 F(x
1
，x
2
，λ)=15+13x
1
+31x
2
－8x
1
x
2
－2x
1
2
－10x
2
2
+λ(x
1
+x
2
－1．5)， 由方程组 [*] 得x
1
=0，x
2
=1．5．即将广告费1．5万元全部用于报纸广告，可使利润最大．
解析
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考研数学三
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