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设求f(x)的原函数F(x).
设求f(x)的原函数F(x).
admin
2016-10-26
65
问题
设
求f(x)的原函数F(x).
选项
答案
当x<0时,f(x)=∫sin2xdx=[*]cos2x+C
1
; 当x>0时,f(x)=∫ln(2x+1)dx=xln(2x+1)一[*]dx =xln(2x+1)一∫dx+[*]=xln(2x+1)一x+[*]ln(2x+1)+C
2
, 为了保证F(x)在x=0点连续,必须C
2
=-[*]+C
1
(*) 特别,若取C
1
=0,C
2
=[*]就是f(x)的一个原函数. 若C
1
任意取值,C
2
满足(*),即 [*] 就是f(x)的不定积分.
解析
本题的被积函数是分段定义的连续函数,则f(x)存在原函数,相应的原函数也应该分段定义.然而按照原函数的定义,F′(x)=f(x),即F(x)必须是可导的,而且导数是f(x).这样,F(x)首先就应该连续,下面就是按照这一要求,利用连续拼接法把分段定义的原函数粘合在一起,构成一个整体的原函数.
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考研数学一
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