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  3. 设求f(x)的原函数F(x)．

设求f(x)的原函数F(x)．

admin2016-10-26  65
问题 设求f(x)的原函数F(x)．
选项
答案当x＜0时，f(x)=∫sin2xdx=[*]cos2x+C1； 当x＞0时，f(x)=∫ln(2x+1)dx=xln(2x+1)一[*]dx =xln(2x+1)一∫dx+[*]=xln(2x+1)一x+[*]ln(2x+1)+C2， 为了保证F(x)在x=0点连续，必须C2=－[*]+C1 (*) 特别，若取C1=0，C2=[*]就是f(x)的一个原函数． 若C1任意取值，C2满足(*)，即 [*] 就是f(x)的不定积分．
解析 本题的被积函数是分段定义的连续函数，则f(x)存在原函数，相应的原函数也应该分段定义．然而按照原函数的定义，F′(x)=f(x)，即F(x)必须是可导的，而且导数是f(x)．这样，F(x)首先就应该连续，下面就是按照这一要求，利用连续拼接法把分段定义的原函数粘合在一起，构成一个整体的原函数．
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考研数学一

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