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设A=,在如下四个条件中①ad-bc<0,②b,c同号,③b=c,④b,c异号,是A相似于对角矩阵的充分条件的是( )
设A=,在如下四个条件中①ad-bc<0,②b,c同号,③b=c,④b,c异号,是A相似于对角矩阵的充分条件的是( )
admin
2018-11-22
45
问题
设A=
,在如下四个条件中①ad-bc<0,②b,c同号,③b=c,④b,c异号,是A相似于对角矩阵的充分条件的是( )
选项
A、①、③.
B、②、④.
C、③、④.
D、①、②、③.
答案
D
解析
对③,当b=c时,A是实对称矩阵,必与对角矩阵相似,所以③是A相似于对角矩阵的充分条件;
其余条件应从A的特征值进行判断是否是A相似于对角矩阵的充分条件.
|λE-A|=
=λ
2
-(a+d)λ+AD-BC=0,
对①,当ad-bc<0时,(a+d)
2
-4(ad-bc)>0,则由
知A有两个不同的特征值,则A必与对角矩阵相似,所以①是A相似于对角矩阵的充分条件;
对②,当b,c同号时,(a-d)
2
+4bc>0,则由
知A有两个不同的特征值,则A必与对角矩阵相似,所以②是A相似于对角矩阵的充分条件;
对④,当b,c异号时A不一定能相似于对角矩阵.例如设A=
,b=-1与c=1异号,且
|λE-A|=
=λ
2
=0, λ
1
=λ
2
=0,
对于(0E-A)X=0,N-R(0.E-A)=2-R(A)=2-1=1.所以A=
线性无关的特征向量只有一个,A不能相似于对角矩阵.
因此条件①、②、③是A相似于对角矩阵的充分条件,应选D.
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考研数学一
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