2. 考研
  3. 设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从参数为λ的指数分布，其中λ＞0未知．从这批器件中任取n只在时刻t=0时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间T0结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效． (Ⅰ)求一只器件在时间T0未失效的概率； (Ⅱ)求λ的最大似然估计

设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从参数为λ的指数分布，其中λ＞0未知．从这批器件中任取n只在时刻t=0时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间T0结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效． (Ⅰ)求一只器件在时间T0未失效的概率； (Ⅱ)求λ的最大似然估计

admin2019-06-04  31
问题 设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从参数为λ的指数分布，其中λ＞0未知．从这批器件中任取n只在时刻t=0时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间T0结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效．
(Ⅰ)求一只器件在时间T0未失效的概率；
(Ⅱ)求λ的最大似然估计值．
选项
答案(Ⅰ)记T的分布函数为F(t)， [*] 一只器件在t=0时投入试验，则在时间T0以前失效的概率为P{T≤T0}=F(T0)=1－e－λT0，在时间T－1未失效的概率为 P{T＞T－1}=1一F(T－1)=e－λT0． (Ⅱ)考虑事件A={试验直至时间T0为止，有K只器件失效，而有N－K只未失效}的概率． 由于各只器件的试验是相互独立的，因此事件A的概率为 L(λ)=Cn k(1－e－λT0)k(e－λT0)n－k，这就是所求的似然函数．取对数得 lnL(λ)一1nCnk+kln(1一e－λT0)+(n－k)(一λT0)． 令[*] 解得A的最大似然估计值为 [*]
解析
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考研数学一

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