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  3. 设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )

设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )

admin2021-01-25  75
问题 设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是(    )
选项 A、α1-α2，α2-α3，α3-α1。
B、α1+α2，α2+α3，α3+α1。
C、α1-2α2，α2-2α3，α3-2α1。
D、α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1。
答案A
解析 方法一：根据线性相关的定义，若存在不全为零的数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0成立，则称α1，α2，α3线性相关。因
    (α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α1)=0，
故α1-α2，α2-α3，α3-α1线性相关，所以选择A。
    方法二：因为
    (α1+α2，α2+α3，α3+α1)=(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)C2，且｜C2｜==2≠0。故C2是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积，C2右乘(α1，α2，α3)时，等价于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有r(α1+α2，α2+α3，α3+α1)=r(α1，α2，α3)=3。所以，α1+α2，α2+α3，α3+α1线性无关，排除B。
    同理α1-2α2，α2-2α3，α3-2α1和α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1都线性无关，排除C、D。综上知应选A。
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考研数学三

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