2. 考研
  3. 设向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，且 β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1． 讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．

设向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，且 β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1． 讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．

admin2018-09-20  21
问题 设向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，且
    β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1．
讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．
选项
答案设x1β1+x2β2+…+xsβs=O，即 (x1+xs)α1+(x1+x2)α2+…+(xs-1+xs)αs=0． 因为α1，α2，…，αs线性无关，则[*]其系数行列式 [*] 当s为奇数时，|A|=2≠0，方程组只有零解，则向量组β1，β2，…，βs线性无关； 当s为偶数时，|A|=0，方程组有非零解，则向量组β1，β2，…，βs线性相关． [β1，β2，…，βs]=[α1，α2，…，αs][*] =[α1，α2，…，αs]Ks×s 因为α1，α2，…，αs线性无关，所以 r(β1，β2，…，βs)=r(K)． 又r(K)=s[*]|K|=1+(一1)s+1≠0，于是s为奇数时，r(β1，β2，…，βs)=s，则向量组β1，β2，…，βs线性无关； 又r(K)＜s[*]|K|=1+(一1)s+1=0，于是s为偶数时，r(β1，β2，…，βs)＜s，则向量组β1，β2，…，βs线性相关．
解析
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考研数学三

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