[2007年] 设函数f(x，y)连续，则二次积分∫π/2πdx∫sinx1f(x，y)dy等于( )．

admin2019-05-10 73

问题 [2007年] 设函数f(x，y)连续，则二次积分∫_π/2^πdx∫_sinx¹f(x，y)dy等于( )．

选项 A、∫₀¹dy∫_π+arcsiny^πf(x，y)dx
B、∫₀¹dy∫_π-arcsiny^πf(x，y)dx
C、∫₀¹dy∫_π/2^π+arcsinyf(x，y)dx
D、∫₀¹dy∫_π/2^π-arcsinyf(x，y)dx

答案B

解析  利用已知的二次积分求出其积分区域D，再转化为另一次序的二次积分．
所给二次积分的积分区域D如图1．5．1．4所示，即
D={(x，y)∣π／2≤x≤π，sinx≤y≤1)，
也可表示为
D={(x，y)∣0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π)．
这是因为当π／2≤x≤π时，有一π／2≤x一π≤0≤π／2．
由 sin(x一π)=一sin(π—x)=一sinx=一y，
得到  x一π=arcsin(－y)=一arcsiny  即  x=π—arcsiny，
故  ∫_π/2^πdx∫_sinx¹f(x，y)dy=∫₀¹dy∫_π-arcsiny^πf(x，y)dx．  仅(B)入选．

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