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设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足 Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α1+α3,Aα3=2α2+3α3 求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵。
设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足 Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α1+α3,Aα3=2α2+3α3 求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵。
admin
2015-09-14
60
问题
设A为三阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的三维列向量,且满足
Aα
1
=α
1
+α
2
+α
3
,Aα
2
=2α
1
+α
3
,Aα
3
=2α
2
+3α
3
求可逆矩阵P,使得P
-1
AP为对角矩阵。
选项
答案
对应于λ
1
=λ
2
=1,解齐次线性方程组(E一B)x=0,得基础解系 ξ
1
=(一1,1,0)
T
,ξ
2
=(一2,0,1)
T
对应于λ
3
=4,解齐次线性方程组(4E一B)x=0,得基础解系 ξ
3
=(0,1,1)
T
令矩阵 [*] 因Q
-1
BQ=Q
-1
C
-1
ACQ=(GQ)
-1
A(CQ),记矩阵 P=CQ=(α
1
,α
2
,α
3
)[*]=(一α
1
+α
2
,一2α
1
+α
3
,α
2
+α
3
) 则有p
-1
AP=Q
-1
BQ=diag(1,1,4)为对角矩阵,故P即为所求的可逆矩阵。
解析
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考研数学三
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