2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α1+α3，Aα3=2α2+3α3 求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α1+α3，Aα3=2α2+3α3 求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。

admin2015-09-14  59
问题 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足
Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α1+α3，Aα3=2α2+3α3
求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。
选项
答案对应于λ1=λ2=1，解齐次线性方程组(E一B)x=0，得基础解系 ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一2，0，1)T 对应于λ3=4，解齐次线性方程组(4E一B)x=0，得基础解系 ξ3=(0，1，1)T 令矩阵 [*] 因Q-1BQ=Q-1C-1ACQ=(GQ)-1A(CQ)，记矩阵 P=CQ=(α1，α2，α3)[*]=(一α1+α2，一2α1+α3，α2+α3) 则有p-1AP=Q-1BQ=diag(1，1，4)为对角矩阵，故P即为所求的可逆矩阵。
解析
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考研数学三

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