2. 考研
  3. 给定矩阵 其行向量都是齐次线性方程组(Ⅰ)： 的解向量．问：B的4个行向量是否构成方程组(Ⅰ)的基础解系?若不能，不用解方程组的方法．试求方程组(Ⅰ)的一个基础解系．

给定矩阵 其行向量都是齐次线性方程组(Ⅰ)： 的解向量．问：B的4个行向量是否构成方程组(Ⅰ)的基础解系?若不能，不用解方程组的方法．试求方程组(Ⅰ)的一个基础解系．

admin2020-04-21  81
问题 给定矩阵
       
其行向量都是齐次线性方程组(Ⅰ)：
       
的解向量．问：B的4个行向量是否构成方程组(Ⅰ)的基础解系?若不能，不用解方程组的方法．试求方程组(Ⅰ)的一个基础解系．
选项
答案先用观察法找出方程组(Ⅰ)所包含的独立方程的个数．这样易求出其系数矩阵A的秩(当然，也可用初等行变换求之)．事实上，有 2×①+②=④， 3×①一②=③． 因而方程组(Ⅰ)中的方程①与②是独立方程组，其系数矩阵A的秩为2．又n=5，故方程组 (Ⅰ)的一个基础解系只含5—2=3个解向量．因而只需找出B中3个线性无关的行向量即可． 解 令B中的第1，2，4个行向量分别为 β1=[1，一2，1，0，0]T， β2=[1，一2，0，1，0]T， β4=[5，一6，0，0，1]T． 因[*]，显然线性无关，在其相同位置上增加相同个数的分量(2个分量)，即得到β1，β2，β4．它们仍然线性无关，于是它们可作为方程组(Ⅰ)的一个基础解系． 而B中第3个行向量 β3=[1，一2，3，一2，0]T=3β1一2β2+Oβ4 即为β1，β2，β4的线性组合，故B中4个行向量不能组成方程组(Ⅰ)的基础解系． 事实上，方程组(Ⅰ)的一个基础解系只含3个解向量．当然这3个解向量不唯一．事实上，β1，β3，β4也是方程组(Ⅰ)的一个基础解系．
解析
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考研数学二

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