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给定矩阵 其行向量都是齐次线性方程组(Ⅰ): 的解向量.问:B的4个行向量是否构成方程组(Ⅰ)的基础解系?若不能,不用解方程组的方法.试求方程组(Ⅰ)的一个基础解系.
给定矩阵 其行向量都是齐次线性方程组(Ⅰ): 的解向量.问:B的4个行向量是否构成方程组(Ⅰ)的基础解系?若不能,不用解方程组的方法.试求方程组(Ⅰ)的一个基础解系.
admin
2020-04-21
81
问题
给定矩阵
其行向量都是齐次线性方程组(Ⅰ):
的解向量.问:B的4个行向量是否构成方程组(Ⅰ)的基础解系?若不能,不用解方程组的方法.试求方程组(Ⅰ)的一个基础解系.
选项
答案
先用观察法找出方程组(Ⅰ)所包含的独立方程的个数.这样易求出其系数矩阵A的秩(当然,也可用初等行变换求之).事实上,有 2×①+②=④, 3×①一②=③. 因而方程组(Ⅰ)中的方程①与②是独立方程组,其系数矩阵A的秩为2.又n=5,故方程组 (Ⅰ)的一个基础解系只含5—2=3个解向量.因而只需找出B中3个线性无关的行向量即可. 解 令B中的第1,2,4个行向量分别为 β
1
=[1,一2,1,0,0]
T
, β
2
=[1,一2,0,1,0]
T
, β
4
=[5,一6,0,0,1]
T
. 因[*],显然线性无关,在其相同位置上增加相同个数的分量(2个分量),即得到β
1
,β
2
,β
4
.它们仍然线性无关,于是它们可作为方程组(Ⅰ)的一个基础解系. 而B中第3个行向量 β
3
=[1,一2,3,一2,0]
T
=3β
1
一2β
2
+Oβ
4
即为β
1
,β
2
,β
4
的线性组合,故B中4个行向量不能组成方程组(Ⅰ)的基础解系. 事实上,方程组(Ⅰ)的一个基础解系只含3个解向量.当然这3个解向量不唯一.事实上,β
1
,β
3
,β
4
也是方程组(Ⅰ)的一个基础解系.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/5684777K
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考研数学二
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