设α1，α2，…，αn是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示．

admin2020-06-05 56

问题设α₁，α₂，…，α_n是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示．

选项

答案必要性设a为任一n维向量．因为α₁，α₂，…，α_n线性无关，而α₁，α₂，…，α_{n/sub>，α是n＋1个n维向量，是线性相关的，所以α能由α₁，α₂，…，α_n线性表示，且表示式是唯一的．
充分性
已知任一n维向量都可由α₁，α₂，…，α_n线性表示，故单位坐标向量组e₁，e₂，…，e_n能由α₁，α₂，…，α_n线性表示，于是有
n≤R(e₁，e₂，…，e_n)≤R(α₁，α₂，…，α_n)≤n
即R(α₁，α₂，…，α_n)＝n，所以α₁，α₂，…，α_n线性无关．}

解析

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考研数学一

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