2. 考研
  3. (Ⅰ)设n维向量α1，α2，α3，α4线性无关．βi=αi+tα4(i=1，2，3)，证明：β1，β2，β3对任意t都线性无关； (Ⅱ)设n维向量α1，α2，α3，α4满足=0，βi=αi+iλiξ，i=1，2，3，4，问λi(i=1，2，3，4)

(Ⅰ)设n维向量α1，α2，α3，α4线性无关．βi=αi+tα4(i=1，2，3)，证明：β1，β2，β3对任意t都线性无关； (Ⅱ)设n维向量α1，α2，α3，α4满足=0，βi=αi+iλiξ，i=1，2，3，4，问λi(i=1，2，3，4)

admin2022-06-19  60
问题 (Ⅰ)设n维向量α1，α2，α3，α4线性无关．βi=αi+tα4(i=1，2，3)，证明：β1，β2，β3对任意t都线性无关；
    (Ⅱ)设n维向量α1，α2，α3，α4满足=0，βi=αi+iλiξ，i=1，2，3，4，问λi(i=1，2，3，4)满足什么条件时，对任意n维向量考，向量组β1，β2，β3，β4总线性相关．
选项
答案设有常数k1，k2，k3，使得 k1β1+k2β2+k3β3=0， 代入已知条件，得 k1(α1+tα4)+k2(α2+tα4)+k3(α3+tα4)=0， 整理得 k1α1+k2α2+k3α3+t([*])α4=0． 因已知α1，α2，α3，α4线性无关，故上式成立当且仅当 k1=k2=k3=[*]=0， 故对任意t，β1，β2，β3都线性无关． (Ⅱ)[解]设有不全为零的数k1，k2，k3，k4，使得 k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=0， 代入已知条件得 k1(α1+λ1ξ)+k2(α2+2λ2ξ)+k3(α3+3λ3ξ)+k4(α4+4λ4ξ)=0， [*] 故λ1，λ2，λ3，λ4满足λ1+4λ2+9λ3+16λ4=0时，对任意向量ξ，向量组β1，β2，β3，β4均线性相关．
解析
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考研数学三

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