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  3. 设A＝(aij)是三阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij＋Aij＝0(i，j＝1，2，3)，则｜A｜＝________．

设A＝(aij)是三阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij＋Aij＝0(i，j＝1，2，3)，则｜A｜＝________．

admin2021-01-19  57
问题 设A＝(aij)是三阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij＋Aij＝0(i，j＝1，2，3)，则｜A｜＝________．
选项
答案应填＝1．
解析 [分析]  根据已知条件易联想到利用重要公式AA*＝｜A｜E．
    [详解]  由aij＋Aij＝0，有Aij＝一aij(i，j＝1，2，3)，得A*＝－AT，于是
AA*＝－AAT＝｜A｜E，
    两边取行列式得  －｜A｜2＝｜A｜3，解得  ｜A｜＝－1或｜A｜＝0．
    当｜A｜＝0时，由AAT＝｜A｜E＝0，有A＝0，与已知矛盾，所以｜A｜＝－1．
    [评注]  也可以如下证明｜A｜≠0：由A为非零矩阵，不妨设a11≠0．于是，根据行列式的按行展开定理得
    ｜A｜＝a11A11＋a12A12＋a13A13＝－(a112＋a122＋a132)＜0．
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考研数学二

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