[2013年] 设函数f(x)=lnx+ 设数列{xn}满足lnxn+＜l，证明xn存在，并求此极限．

admin2019-06-09 67

问题 [2013年] 设函数f(x)=lnx+

设数列{x_n}满足lnx_n+

＜l，证明

x_n存在，并求此极限．

选项

答案由(I)知1是函数f(x)的最小值，故f(x_n)=lnx_n+[*]≥1，又已知lnx_n+[*]＜1，则由lnx_n＜1一[*]得到 [*]≥l—lnx_n≥1一[*]＞0．从而0＜x_n＜x_n+1，即{x_n}单调增加．又由lnx_n+[*]＜l，有lnx_n＜1一[*]＜1，故0＜x_n＜e，即数列{x_n}有上界，因{x_n}单调增加且有上界，故其极限存在，设极限为a，即[*]x_n=a，且a＞0，在不等式lnx_n+[*]＜1两边取极限得到lna+[*]≤1．又由(I)知，应有lna+[*]≥1，因而lna+[*]=1，再由(I)知，a=1，即[*]x_n=1．

解析

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