设 x=(xij)3×3．问a，b，c取何值时，矩阵方程AX=B有解?并在有解时求出全部解．

admin2017-06-14 79

问题设

x=(x_ij)_3×3．问a，b，c取何值时，矩阵方程AX=B有解?并在有解时求出全部解．

选项

答案AX=B有解<=>r(A)r[A｜B]=2．为了决定A及[A｜B]的秩，下面对矩阵 [A｜B]作初等行变换 [*] 可见r(A)=2．当且仅当a=1，b=2，c=1时，有r[A｜B]=2，故当且仅当a=1，b=2，c=1时，AX=B有解．当a=1，b=2，c=1时，将矩阵[A｜B]进一步化成行最简形 [*] 由此可得线性方程组Ax₁=β₁，Ax₂=β₂，Ax₃=β₃的通解分别为(其中β_j为矩阵B的第j列，j=1，2，3)． [*] (k₁，k₂，k₃为任意常数)，所以，矩阵方程AX=B的全部解为 [*]

解析

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