求函数f(x，y)=(x一6)2+(y+8)2在D={(x，y)：x2+y2≤25}上的最大值、最小值．

admin2020-03-10 104

问题求函数f(x，y)=(x一6)²+(y+8)²在D={(x，y)：x²+y²≤25}上的最大值、最小值．

选项

答案由[*]=2(y+8)=0得x₀=6，y₀=一8，而(x₀，y₀)不在D的内部，所以f(x，y)在D的内部没有极值，故它的最大、最小值一定在边界F：x²+y²=25上取到．而在[*]上：f(x，y)=x²+y²一12x+16y+100=125—12x+16y．令L(x，y，λ)=f(x，y)+λ(x²+y²一25)，由[*]，得λ₁=一2，x₁=一3，y₁=4或λ₂=2，x₂=3，y₂=一4．而f(x₁，y₁)=125+36+64=225，f(x₂，y₂)=125—36—64=25，所以f(x，y)在D上的最大值(即在[*]上的最大值)为f(x₁，y₁)=225，f(x，y)在D上的最小值(即在[*]上的最小值)为f(x₂，y₂)=25．

解析

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考研数学三

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