设f(x)在[0，1]上非负连续，且f(0)＝f(1)＝0，证明：对任意小于1的正数a(0＜a＜1)，必有ξ∈[0，1]，使得f(ξ)＝f(ξ＋a)．

admin2014-03-30 50

问题设f(x)在[0，1]上非负连续，且f(0)＝f(1)＝0，证明：对任意小于1的正数a(0＜a＜1)，必有ξ∈[0，1]，使得f(ξ)＝f(ξ＋a)．

选项

答案设F(x)＝f(x)－f(x＋0)，则F(x)在[0，1－a]上连续，又F(0)＝f(0)－f(a)＝－f(a)≤0，F(1－a)＝f(1－a)－f(1)＝f(1－a)≥0，则(1)若f(a)＝0或f(1－a)＝0，结论成立． (2)f(a)＞0或f(1－a)＞0，由零点存在定理得，存在一点ξ∈(0，1－a)[*](0，1)使得F(ξ)＝0，即可得结论。

解析

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