2. 考研
  3. 设f(a，b)在[a，b]上二阶可导，f(a)＝f(b)＝0．证明至少存在一点ξ∈(a，b)使得｜f〞(ξ)｜≥｜f(χ)｜．

设f(a，b)在[a，b]上二阶可导，f(a)＝f(b)＝0．证明至少存在一点ξ∈(a，b)使得｜f〞(ξ)｜≥｜f(χ)｜．

admin2018-06-12  55
问题 设f(a，b)在[a，b]上二阶可导，f(a)＝f(b)＝0．证明至少存在一点ξ∈(a，b)使得｜f〞(ξ)｜≥｜f(χ)｜．
选项
答案f(χ)在[a，b]上连续，｜f(χ)｜在[a，b]上亦连续，设c为｜f(χ)｜在[a，b]上的最大值点．若c＝a，则f(χ)＝0，结论显然成立．故可设a＜c＜b，从而任给χ∈(a，b)，有｜f(χ)｜f≤｜f(c)｜，即－｜f(c)｜≤f(χ)≤｜f(c)｜． 若f(c)＞0，则f(χ)≤f(c)，从而f(c)为f(χ)的最大值；若f(c)＜0，则有f(χ)≥f(c)，即f(c)为f(χ)的最小值，由此可知，总有f′(c)＝0． 把函数f(χ)在χ＝c展开为泰勒公式，得 f(χ)＝f(c)＋f′(c)(χ－c)＋[*](χ－c)2＝f(c)＋[*](χ－c)2． (*) 若a＜c≤[*]，令χ＝a，则由(*)及题设有 f(a)＝f(c)＋[*](a－c)2，即｜f(c)｜＝[*](a－c)2． 由于a＜c≤[*]，0＜c－a≤[*]，因此 ｜f(c)｜＝[*] 于是｜f〞(ξ)｜≥[*]｜f(χ)｜ 若[*]＜c＜b，令χ＝b，则由(*)及题设有 f(b)＝f(c)＋[*](b－c)2，即｜f(c)｜＝[*](b－c)2． 由于[*]＜c＜b，b－c＜b－[*]，因此 [*]
解析
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考研数学一

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