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  3. 设二次型xTAx＝ax12＋2x22－x32＋8x1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，实对称矩阵A满足AB＝0，其中B＝ (Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换； (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。

设二次型xTAx＝ax12＋2x22－x32＋8x1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，实对称矩阵A满足AB＝0，其中B＝ (Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换； (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。

admin2020-01-15  28
问题 设二次型xTAx＝ax12＋2x22－x32＋8x1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，实对称矩阵A满足AB＝0，其中B＝
(Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换；
(Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。
选项
答案(Ⅰ)二次型对应的实对称矩阵为A＝[*]，因为AB＝0，所以 [*] 从而[*]解得[*] 下面求A的特征值 [*] A的特征值为0，6，－6。 当λ＝0时，求解线性方程组(OE－A)x＝0，解得a1＝(1，0，1)T； 当λ＝6时，求解线性方程组(6E－A)x＝0，解得a2＝(－1，－2，1)T； 当λ＝－6时，求解线性方程组(－6E－A)x＝0，解得a3＝(－1，1，1)T。 下面将a1a2a3单位化 [*] 令 [*] 则二次型通过正交变换x＝Qy化为标准型f＝6y22－6y32，其中 [*] (Ⅱ)矩阵A与B不合同。因为r(A)＝2，r(B)＝1，由合同的必要条件可知矩阵A与B不合同。
解析
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考研数学一

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