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设A,B是n阶方阵,证明:AB,BA有相同的特征值.
设A,B是n阶方阵,证明:AB,BA有相同的特征值.
admin
2016-07-22
48
问题
设A,B是n阶方阵,证明:AB,BA有相同的特征值.
选项
答案
方法一利用特征值的定义. 设AB有任一特征值λ,其对应的特征向量为ξ,则 ABξ=λξ ① ①式两边左乘B,得 BABξ=BA(Bξ)=λ(Bξ).② 若Bξ≠0,②式说明,BA也有特征值λ(其对应的特征向量为Bξ),若Bξ=0,由①式知,λξ=0,ξ≠0,得AB有特征值λ=0,从而|AB|=0,且|BA|=|B||A|=|A||B|=|AB|=0,从而BA也有λ=0的特征值,故AB和BA有相同的特征值. 方法二 利用特征方程及分块矩阵的运算. 设AB有特征值λ,即有|λE-AB|=0,因 [*] 知AB和BA有相同的非零特征值. 当AB有λ=0时,因|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|,故BA也有零特征值,从而得证AB和BA有相同的特征值.
解析
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考研数学一
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