设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

admin2017-01-21 71

问题设二次型f（x₁，x₂，x₃）=2（a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃）²+（b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃）²，
记

（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2αα^T+ ββ^T；
（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

选项

答案（Ⅰ）f（x₁，x₂，x₃）=2（a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃）²+（b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃）² [*] 所以二次型f对应的矩阵为2αα^T+ ββ^T。（Ⅱ）设A=2αα^T+ ββ^T，由于|α|=1，α^Tβ=β^Tα=0，则 Aα=（2αα^T+ββ^T）α=2α|α| ²+ββ^Tα=2α，所以α为矩阵对应特征值λ₁=2的特征向量； Ap=（2αα^T+ββ^T）β=2αα^Tβ+β|β| ²=β，所以β为矩阵对应特征值λ₂=1的特征向量。而矩阵A的秩 r（A）=r（2αα^T+ ββ^T）≤r（2αα^T）+ r（ββ^T）=2，所以λ₃=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

解析

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考研数学三

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设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

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设函数f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D为区域a≤x≤b，a≤y≤b，证明：(b－a)2．

设非齐次线性微分方程yˊ＋P(x)y＝Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是()．。

设某产品的需求函数为Q＝Q(P)，收益函数为R＝PQ，其中P为产品价格，Q为需求量(产品的产量)，Q(P)是单调减函数，如果当价格为Po，对应产量为Qo时，边际收

写出下列直线的对称式方程及参数方程：

设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数uα满足P{X>uα}=α，若P{丨X丨

设A是n阶证定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．正交矩阼Q，使QTAQ为对角矩阵．

设总体X的概率分布为，其中参数θ未知且．从总体X中抽取一个容量为8的简单随机样本，其8个样本值分别是1，0，1，一1，1，1，2，1．试求：(I)θ的矩估计值；(Ⅱ)θ的最大似然估计值；(Ⅲ)经验分布函数F8(x)．

假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为R(未知常数)．现在按还原抽样方式随意抽取的n件中发现k件不合格品．试求R的最大似然估计值．

患者，男性，51岁，患肝硬化已4年，近期常有刷牙出血，皮肤反复出现出血点，查血小板200×109／L，最可能的出血原因是

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初期支护自上而下，第一步封闭成环，环环相扣，二次衬砌自下而上施工，施工质量容易得到保证是浅埋暗挖法修建隧道及地下工程主要开挖方法中的()所具有的特点。

深圳证券交易所将上市公司分为()类。

下列不是经济订货批量模型假设的是()。

下列关于政府补助会计处理的表述，正确的有()。

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Ifitwereonlynecessarytodecidewhethertoteachelementarysciencetoeveryoneonamassbasisortofindthegiftedfewan

A、Thewomanisabigfanoftraveling.B、Thewomanisdesperatetowritetohim.C、Hisauntwillkeepthemailsforhim.D、Hewi

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