设α是n维单位列向量，A=E-ααT．证明：r(A)＜n．

admin2022-11-03 283

问题设α是n维单位列向量，A=E-αα^T．证明：r(A)＜n．

选项

答案A²=(E-αα^T)(E-αα^T)=E-2αα^T+αα^T·αα^T，因为α为单位列向量，所以α^Tα=1，于是A²=A．由A(E-A)=0得r(A)+r(E-A)≤n，又由r(A)+r(E-A)≥r[A+(E-A)]=r(E)=n，得r(A)+r(E-A)=n，因为E-A=αα^T≠0，所以r(E-A)=r(αα^T)=r(α)=1，故r(A)=n-1＜n．

解析

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设α是n维单位列向量，A=E-ααT．证明：r(A)＜n．
设n维行向量α=(1/2，0，…，0，1/2)，A=E--αTα，B=E+2αTα，则AB为()．
设A=E-ααT，其中α为n维非零列向量．证明：A2=A的充分必要条件是α为单位向量；当α是单位向量时A为不可逆矩阵．

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