设随机变量X和Y独立，并且都服从正态分布N(μ，σ2)，求随机变量Z＝min(X，Y)的数学期望．

admin2017-08-18 56

问题设随机变量X和Y独立，并且都服从正态分布N(μ，σ²)，求随机变量Z＝min(X，Y)的数学期望．

选项

答案设U＝(X一μ)／σ，V＝(Y一μ)／σ，有 Z＝min{σU＋μ，σV＋μ}＝σmin{U，V}＋μ． U和V服从标准正态分布N(0，1)，其联合密度为 [*] 由求随机变量函数的数学期望的一般式，有(见图4．4) Emin{U，V}＝∫_－∞^＋∞∫_－∞^＋∞min{u，v}φ(u，v)dudv ＝[*]∫_－∞^＋∞∫_－∞^＋∞min{u，v}exp[*]dudv [*] [*] 在上面的积分中作换元：设[*]有 Emin{U，V}＝[*] EZ＝Emin{X，Y}＝σEmin{U，V}＋μ＝μ一[*]．同样可以求得 Emax{X，Y}＝μ＋[*]．

解析

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