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设随机变量X和Y独立,并且都服从正态分布N(μ,σ2),求随机变量Z=min(X,Y)的数学期望.
设随机变量X和Y独立,并且都服从正态分布N(μ,σ2),求随机变量Z=min(X,Y)的数学期望.
admin
2017-08-18
45
问题
设随机变量X和Y独立,并且都服从正态分布N(μ,σ
2
),求随机变量Z=min(X,Y)的数学期望.
选项
答案
设U=(X一μ)/σ,V=(Y一μ)/σ,有 Z=min{σU+μ,σV+μ}=σmin{U,V}+μ. U和V服从标准正态分布N(0,1),其联合密度为 [*] 由求随机变量函数的数学期望的一般式,有(见图4.4) Emin{U,V}=∫
-∞
+∞
∫
-∞
+∞
min{u,v}φ(u,v)dudv =[*]∫
-∞
+∞
∫
-∞
+∞
min{u,v}exp[*]dudv [*] [*] 在上面的积分中作换元:设[*]有 Emin{U,V}=[*] EZ=Emin{X,Y}=σEmin{U,V}+μ=μ一[*]. 同样可以求得 Emax{X,Y}=μ+[*].
解析
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考研数学一
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