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  3. (2005年)已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B＝(k为常数)，且AB＝O，求线性方程组Aχ＝0的通解．

(2005年)已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B＝(k为常数)，且AB＝O，求线性方程组Aχ＝0的通解．

admin2016-05-30  65
问题 (2005年)已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B＝(k为常数)，且AB＝O，求线性方程组Aχ＝0的通解．
选项
答案由AB＝O知矩阵B的每一列都是方程组Aχ＝0的解，因此Aχ＝0必有非零解，要求其通解是要求出它的基础解系即可．而基础解系所含向量个数等于3－r(A)，所以需要先确定A的秩，r(A)． 由于AB＝O，故r(A)＋r(B)≤3，又由a，b，c不全为零，可知r(A)≥1． 当k≠9时，r(B)＝2，于是r(A)＝1； 当k＝9时，r(B)＝1，于是r(A)＝1或r(A)＝2． (1)当k≠9时，因r(A)＝1，知Aχ＝0的基础解系含2个向量．又由AB＝O可得 [*] 由于η1＝(1，2，3)T，η2＝(3，6，k)T线性无关，故η1，η2为Aχ＝0的一个基础解系，于是Aχ＝0的通解为 χ＝c1η1＋c2η2，其中c1，c2为任意常数． (2)当k＝9时，分别就r(A)＝2和r(A)＝1进行讨论． 如果r(A)＝2，则Aχ＝0的基础解系由一个向量构成．又因为A[*]＝0，所以Aχ＝0的通解为χ＝c1(1，2，3)T，其中c1为任意常数． 如果r(A)＝1，则Aχ＝0的基础解系由两个向量构成．又因为A的第一行为(a，b，c)且a，b，c不全为零，所以Aχ＝0等价于aχ1＋bχ2＋cχ3＝0．不妨设a≠0，则η1＝(－b，a，0)T，η2＝(－c，0，a)T是Aχ＝0的两个线性无关的解，故Aχ＝0的通解为 χ＝c1η1＋c2η2，其中c1，c1为任意常数．
解析
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考研数学二

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