2. 考研
  3. 设f(x)在[0，t](t＞0)上有n阶导数且非负，已知f(0)=f’+(0)=f”+(0)=…=f+(n-2)(0)=0，f(n)(x)＞0． (I)求F(t)=∫0tsf(x)dx-t∫0tf(x)dx(n为大于1的正整数)的n阶导数； (Ⅱ)证明：(

设f(x)在[0，t](t＞0)上有n阶导数且非负，已知f(0)=f’+(0)=f”+(0)=…=f+(n-2)(0)=0，f(n)(x)＞0． (I)求F(t)=∫0tsf(x)dx-t∫0tf(x)dx(n为大于1的正整数)的n阶导数； (Ⅱ)证明：(

admin2022-04-27  100
问题 设f(x)在[0，t](t＞0)上有n阶导数且非负，已知f(0)=f’+(0)=f”+(0)=…=f+(n-2)(0)=0，f(n)(x)＞0．
(I)求F(t)=∫0tsf(x)dx-t∫0tf(x)dx(n为大于1的正整数)的n阶导数；
(Ⅱ)证明：(Ⅰ)中的F(t)＞0．
选项
答案(Ⅰ)F(t)=∫0txf(x)dxt-[*]t∫0tf(x)dx变形为 (n+1)F(t)=(n+1)∫0txf(x)dx-nt∫0tf(x)dx， 则 [(n+1)F(t)]’=(n+1)tf(t)-n[∫0tf(x)dx+tf(t)] =tf(t)-n∫0tf(x)dx， [(n+1)F(t)]”=f(t)+tf’(t)-nf(t)=(1-n)f(t)+tf’(f)， [(n+1)F(t)]’”=(1-n)f’(t)+f’(t)+f”(t)=(2-n)f’(t)+tf”(t)， 依此类推，得 [(n+1)F(t)](n))=(n-1-n)f(n-2)(t)+tf(n-1)(t), 故[F(t)](n)=[*] (Ⅱ)由f0(n-2)(0)=0，应用拉格朗日中值定理，有 [F(t)](n) [*] 由f(n))＞0，知f(n-1)(x)单调增加，故[F(t)](n)＞0，所以[F(t)](n-1)单调增加．又[F(0)](n-1)=0，知[F(t)](n-1)＞[F(0)](n-1)=0．依此类推，可得F(t)＞F(0)=0．
解析
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考研数学三

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