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设f(x)在[0,t](t>0)上有n阶导数且非负,已知f(0)=f’+(0)=f”+(0)=…=f+(n-2)(0)=0,f(n)(x)>0. (I)求F(t)=∫0tsf(x)dx-t∫0tf(x)dx(n为大于1的正整数)的n阶导数; (Ⅱ)证明:(
设f(x)在[0,t](t>0)上有n阶导数且非负,已知f(0)=f’+(0)=f”+(0)=…=f+(n-2)(0)=0,f(n)(x)>0. (I)求F(t)=∫0tsf(x)dx-t∫0tf(x)dx(n为大于1的正整数)的n阶导数; (Ⅱ)证明:(
admin
2022-04-27
142
问题
设f(x)在[0,t](t>0)上有n阶导数且非负,已知f(0)=f’
+
(0)=f”
+
(0)=…=f
+
(n-2)
(0)=0,f
(n)
(x)>0.
(I)求F(t)=∫
0
t
sf(x)dx-
t∫
0
t
f(x)dx(n为大于1的正整数)的n阶导数;
(Ⅱ)证明:(Ⅰ)中的F(t)>0.
选项
答案
(Ⅰ)F(t)=∫
0
t
xf(x)dxt-[*]t∫
0
t
f(x)dx变形为 (n+1)F(t)=(n+1)∫
0
t
xf(x)dx-nt∫
0
t
f(x)dx, 则 [(n+1)F(t)]’=(n+1)tf(t)-n[∫
0
t
f(x)dx+tf(t)] =tf(t)-n∫
0
t
f(x)dx, [(n+1)F(t)]”=f(t)+tf’(t)-nf(t)=(1-n)f(t)+tf’(f), [(n+1)F(t)]’”=(1-n)f’(t)+f’(t)+f”(t)=(2-n)f’(t)+tf”(t), 依此类推,得 [(n+1)F(t)]
(n)
)=(n-1-n)f
(n-2)
(t)+tf
(n-1)
(t), 故[F(t)]
(n)
=[*] (Ⅱ)由f
0
(n-2)
(0)=0,应用拉格朗日中值定理,有 [F(t)]
(n)
[*] 由f
(n)
)>0,知f
(n-1)
(x)单调增加,故[F(t)]
(n)
>0,所以[F(t)]
(n-1)
单调增加.又[F(0)]
(n-1)
=0,知[F(t)]
(n-1)
>[F(0)]
(n-1)
=0.依此类推,可得F(t)>F(0)=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7LR4777K
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考研数学三
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