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  3. 设随机变量X服从(0，1)上的均匀分布，求下列Yi(i=1，2，3，4)的数学期望和方差： (Ⅰ)Y1=eX； (Ⅱ)Y2－2lnX； (Ⅲ)Y3=1／X； (Ⅳ)Y4=X2．

设随机变量X服从(0，1)上的均匀分布，求下列Yi(i=1，2，3，4)的数学期望和方差： (Ⅰ)Y1=eX； (Ⅱ)Y2－2lnX； (Ⅲ)Y3=1／X； (Ⅳ)Y4=X2．

admin2018-06-15  39
问题 设随机变量X服从(0，1)上的均匀分布，求下列Yi(i=1，2，3，4)的数学期望和方差：
(Ⅰ)Y1=eX；
(Ⅱ)Y2－2lnX；
(Ⅲ)Y3=1／X；
(Ⅳ)Y4=X2．
选项
答案直接用随机变量函数的期望公式，故 (Ⅰ)EY1=∫01exdx=e－1．EY12=∫01e2xdx=1／2(e2－1)， DY1=EY12－(EY1)2=1／2(e2－1)－(e－1)2=1／2(e－1)(3－e)． (Ⅱ)EY2=∫01－2lnxdx=－2xlnx|01+2∫01dx=2． EY22=∫014ln2xdx=4[xln2x|01－2∫01lnxdx] =－8∫01lnxdx=8， DY22=8－4=4． (Ⅲ)∫011／xdx=∞，故EY3不存在，DY3也不存在． (Ⅳ)EY1=∫01dx2dx=1／3．EY42=∫01x4dx=1／5， DY4=[*]－(1／3)2=4／45．
解析
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考研数学一

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