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试证:当x>0时,有不等式x>sinx>x一.
试证:当x>0时,有不等式x>sinx>x一.
admin
2017-03-30
29
问题
试证:当x>0时,有不等式x>sinx>x一
.
选项
答案
先证x>sinx(x>0). 设f(x)=x—sinx,则f′(x)=1一cosx≥0(x>0), 所以f(x)为单调递增函数,于是对x>0有f(x)>f(0)=0, 即x—sinx>0,亦即x>sinx(x>0). 再证sinx>x-[*](x>0). 令g(x)=sinx—x+[*], 则 g′(x)=cosx-1+x, g″(x)=-sinx+1≥0, 所以g′(x)单调递增,又g′(0)=0,可知g′(x)>g′(0)=0(x>0),那么有g(x)单调递增. 又g(0)=0,可知g(x)>g(0)=0(x>0), 所以 sinx—x+[*]>0, 即 sinx>x-[*](x>0). 综上可得:当x>0时,x>sinx>x-[*]
解析
可将不等式分成两部分来证,即:x>sinx,sinx>x一
730,分别设f(x)=x—sinx和g(x)=sinx—x+
731,然后再分别求导数,利用单调性思想即可证出.
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