2. 考研
  3. 设n元实二次型 f(x1，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xx-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2， 其中a1，…，an均为实数。试问：当a1，…，an满足何种条件时，二次型f是正定的。

设n元实二次型 f(x1，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xx-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2， 其中a1，…，an均为实数。试问：当a1，…，an满足何种条件时，二次型f是正定的。

admin2018-01-26  83
问题 设n元实二次型
  f(x1，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xx-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，
其中a1，…，an均为实数。试问：当a1，…，an满足何种条件时，二次型f是正定的。
选项
答案依题意知，对任意的x1，…，xn，均有f≥0，易知当且仅当下列齐次线性方程组只有零解时，二次型是正定的。 [*] 而当且仅当系数矩阵的行列式非零时，此齐次线性方程组只有零解，即 [*] =1+(-1)n+1a1…an≠0， 所以，当a1…an≠(-1)n时，二次型f为正定二次型。
解析
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考研数学一

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