设f(x)在[a，b]有连续的导数，求证：｜∫abf(x)dx｜+∫ab｜f’(x)｜dx．

admin2018-06-27 58

问题设f(x)在[a，b]有连续的导数，求证：

｜∫_a^bf(x)dx｜+∫_a^b｜f’(x)｜dx．

选项

答案可设[*]｜f(x)｜=｜f(x₀)｜，即证 (b-a)｜f(x₀)｜≤｜∫_a^bf(x)dx｜+(b-a)∫_a^b｜f’(x)｜dx，即证｜∫_a^bf(x₀)dx｜-｜∫_a^bf(x)dx｜≤(b-a)∫_a^b｜f’(x)｜dx．注意｜∫_a^bf(x₀)dx｜-｜∫_a^bf(x)dx｜≤｜∫_a^b[f(x₀)-f(x)]-dx｜ =｜∫_a^b[∫_x^x₀f’(t)dt]dx｜≤∫_a^b[∫_a^b｜f’(t)｜dt]dx=(b-a)∫_a^b｜f’(x)｜dx．故得证．

解析

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