已知线性方程组 的一个基础解系为:(b11,b12,…,b1,2n)T,(b21,b22,…,b2,2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn,2n)T. 试写出线性方程组的通解,并说明理由.

admin2018-08-12  31

问题 已知线性方程组
的一个基础解系为:(b11,b12,…,b1,2n)T,(b21,b22,…,b2,2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn,2n)T
    试写出线性方程组的通解,并说明理由.

选项

答案记方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的系数矩阵分别为A、B,则可以看出题给的(Ⅰ)的基础解系中的n个向量就是的n个行向量的转置向量.因此,由(Ⅰ)的基础解系可知 ABT=O 转置即得BAT=0 因此可知AT的n个列向量——即A的n个行向量的转置向量都是方程组(Ⅱ)的解向量. 由于B的秩为n(B的行向量组线性无关),故(Ⅱ)的解空间的维数为2n-r(B)=2n-n=n,所以(Ⅱ)的任何n个线性无关的解就是(Ⅱ)的一个基础解系.已知(Ⅰ)的基础解系含n个向量,即2n-r(A)=n,故r(A)=n,于是可知A的n个行向量线性无关,从而它们的转置向量构成(Ⅱ)的一个基础解系,因此(Ⅱ)的通解为 y=c1(a11,a12,…,a1,2n)T+c2(a21,a22,…,a2,2n)T+…+cn(an1,an2,…,an,2n)T其中c1,c2,…,cn为任意常数.

解析
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