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  3. 已知3阶矩阵A与3维向量x．使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x． (1)记P=(x Ax A2x)，求3阶矩阵B，使A=PBP—1； (2)计算行列式｜A+E｜．

已知3阶矩阵A与3维向量x．使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x． (1)记P=(x Ax A2x)，求3阶矩阵B，使A=PBP—1； (2)计算行列式｜A+E｜．

admin2016-04-11  67
问题 已知3阶矩阵A与3维向量x．使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x．
    (1)记P=(x  Ax   A2x)，求3阶矩阵B，使A=PBP—1；
    (2)计算行列式｜A+E｜．
选项
答案(1)设 [*] 则由AP=PB，得 (Ax A2x A3x)=(Ax A2x 3Ax一2A3x)=(x Ax A2x)[*] 上式可写成 Ax=a1x+b1Ax+c1A2x (1) A2x=a2x+b2Ax+c2A2x (2) 3Ax—2A2x=a3x+b3Ax+c3A2x (3) 由于x，Ax，A2x线性无关，故 由(1)式可得 a1=c1=0，b1=1 由(2)式可得 a1=b2=0，c2=1 由(3)式可得 a3=0，b3=3，c3=一2 从而 B=[*] (2)由(1)有A=PBP—1，故 A+E=PBP—1+E=P(B+E)P—1 两端取行列式，得 ｜A+E｜=｜P｜｜B+E｜｜P—1｜=｜B+E=[*]=一4
解析 本题综合考查按列分块矩阵的运算．向量用基向量的线性表示、满秩方阵的概念、方阵乘积的行列式等．注意，当3维向量组x，Ax，A2x线性无关时，该向量组就可作为3维向量空间的基，因而任一3维向量都可由该向量组线性表示；另一方面，欲求B使AP=PB，按列表示就是Apj=Pβj(其中pj为P之第j列，βj=[b1j，b2j，b3j]T为B之第j列(j=1，2，3))，或Apj=(p1  p2  p3)=b1jp1+b2jp2+b3jp3由于P可逆，P之列向量组p1，p2，p3为3维空间的基，而上式说明B之第j列(b1j，b2j，b3j)T就是向量Apj在这个基下的坐标，故以上两方面说明，本题(1)求矩阵B的本质是求AP的列向量在基p1，p2，p3下的坐标列向量．
   本题(1)实际上已说明A与B是相似的，从而知A+E与B+E相似，而相似矩阵有相同的行列式，因而由B+E的行列式就可求出A+E的行列式．注意，一般地有：若A与E相似，则对于任何多项式f(x)，有f(A)与f(B)相似．
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