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  3. 已知P－1AP=α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是 ( )

已知P－1AP=α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是 ( )

admin2019-01-14  51
问题 已知P－1AP=α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是    (    )
选项 A、[α1，－α2，α3]
B、[α1，α2+α3，α2－2α3]
C、[α1，α3，α2]
D、[α1+α2，α1－α2，α3]
答案D
解析 若P－1AP=A=

P=[α1，α2，α3]，则有AP=PΛ，即
A[α1，α2，α3]=[α1，α2，α3]

即    [Aα1，Aα2，Aα3]=[a1α1，a2α2，a3α3]．
    可见αi是矩阵A属于特征值ai(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此，α1，α2，α3线性无关．
若α是属于特征值λ的特征向量，则－α仍是属于特征值λ的特征向量，故A正确．
    若α，β是属于特征值λ的特征向量，则k1α+k2β仍是属于特征值λ的特征向量．本题中，α2，α3是属于λ=6的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2－2α3仍是λ=6的特征向量，并且α2+α3，α2－2α3线性无关，故B正确．
    关于C，因为α2，α3均是λ=6的特征向量，所以α2，α2谁在前谁在后均正确，即C正确．
    由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1－α2不再是矩阵A的特征向量，故D错误．
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考研数学一

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