求函数f(x)=(2一t)e—tdt的最大值与最小值．

admin2017-10-23 44

问题求函数f(x)=

(2一t)e^—tdt的最大值与最小值．

选项

答案由于f(x)是偶函数，我们只需考察x∈[0，+∞)．由变限积分求导公式得 [*]．从而f(x)的最大值是f(*])=∫₀²(2—t)e^—tdt=一∫₀²(2—t)de^—t=(t—2)e^—t｜₀²—∫₀²e^—tdt =2+e^—t｜₀²=1+e^—2．由上述单调性分析，为求最小值，只需比较f(0)与[*]f(x)的大小．由于 [*]f(x)=∫₀^+∞(2一t)e^—tdt=[(t一2)e^—t+e^—t]｜₀^+∞=1＞f(0)=0，从而f(0)=0是最小值．

解析 f(x)的定义域是(一∞，+∞)，由于它是偶函数，故只需考虑x∈[0，+∞)．求f’(x)和驻点并考察驻点两侧的单调性．由于需要考察f(0)是否为最值，还需求极限值

f(x)．

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