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求微分方程yˊˊ+2yˊ+2y=2e-x的通解.
求微分方程yˊˊ+2yˊ+2y=2e-x的通解.
admin
2016-09-13
47
问题
求微分方程yˊˊ+2yˊ+2y=2e
-x
的通解.
选项
答案
应先用三角公式将自由项写成 e
-x
+e
-x
cosx, 然后再用叠加原理用待定系数法求特解. 对应的齐次方程的通解为 Y=(C
1
cosx+C
2
sinx)e
-x
. 为求原方程的一个特解,将自由项分成两项:e
-x
,e
-x
cosx,分别考虑 yˊˊ+2yˊ+2y=e
-x
, ① 与 yˊˊ+2yˊ+2y=e
-x
cosx. ② 对于①,令 y
1
*
=Ae
-x
, 代入可求得A=1,从而得y
1
*
=e
-x
. 对于②,令 y
2
*
=xe
-x
(Bcosx+Csinx), 代入可求得B=0,C=[*].由叠加原理,得原方程的通解为 y=Y+y
1
*
+y
2
*
=e
-x
(C
1
cosx+C
2
sinx)+e
-x
+[*]xe
-x
sinx,其中C
1
,C
2
为任意常数.
解析
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0
考研数学三
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