求微分方程yˊˊ+2yˊ+2y=2e－x的通解．

admin2016-09-13 73

问题求微分方程yˊˊ+2yˊ+2y=2e^－x

的通解．

选项

答案应先用三角公式将自由项写成 e^－x+e^－xcosx，然后再用叠加原理用待定系数法求特解．对应的齐次方程的通解为 Y=(C₁cosx+C₂sinx)e^－x．为求原方程的一个特解，将自由项分成两项：e^－x，e^－xcosx，分别考虑 yˊˊ+2yˊ+2y=e^－x， ① 与 yˊˊ+2yˊ+2y=e^－xcosx． ② 对于①，令 y₁^*=Ae^－x，代入可求得A=1，从而得y₁^*=e^－x．对于②，令 y₂^*=xe^－x(Bcosx+Csinx)，代入可求得B=0，C=[*]．由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y₁^*+y₂^*=e^－x(C₁cosx+C₂sinx)+e^－x+[*]xe^－xsinx，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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