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  3. 设f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)＝0．试证明：至少存在一点η∈[0，1]，使f′(η)＝2f(x)dx．

设f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)＝0．试证明：至少存在一点η∈[0，1]，使f′(η)＝2f(x)dx．

admin2016-01-25  51
问题 设f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)＝0．试证明：至少存在一点η∈[0，1]，使f′(η)＝2f(x)dx．
选项
答案因为f′(x)在[0，1]上连续，所以函数f′(x)在[0，1]上有最值． 设其最大值与最小值分别为M和m，即有 m≤f′(x)≤M，x∈[0，1]． 又由拉格朗日中值定理有 f(x)＝f(x)一f(0)＝xf′(ξ)， 则 2[*]xf′(ξ)dx． 因m≤f′(ξ)≤M，故 xm≤xf′(ξ)≤xM (因x＞0)， 所以 2mx≤2xf′(ξ)≤2xM． [*] 对f′(x)使用介值定理，得到至少存在一点η∈[0，1]，使 f′(η)＝2[*]f(x)dx．
解析 因f′(x)在[0，1]上连续，如能证明2f(x)dx在函数f′(x)的最大值与最小值之间，对f′(x)在[0，1]上使用介值定理，问题得证．为要产生导数f′(η)，注意到f(0)＝0，可先使用拉格朗日中值定理．
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考研数学三

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