[2016年] 设D是由曲线y=(0≤x≤1)与围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积．

admin2019-04-05 59

问题 [2016年] 设D是由曲线y=

(0≤x≤1)与

围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积．

选项

答案旋转体的体积可按式(1．3．5．4)求之，表面积可按式(1．3．5．2)求之．[*] (I)设D的图形为图1．3．5．9所示，D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积可看为两个旋转体体积之差．先将曲线的参数方程化为直角坐标方程：令x=cos³t，y=sin³t，则x=0，1时，t=[*]，0． x^2/3=(cos³t)^2/3=cos²t，l一x^2/3=l—cos²t=sin²t=(sin³t)^2/3=y^2/3, 故y=(1一x^2/3)^3/2 其略图如图1．3．5．9所示，则则V_x=π∫₀¹([*])²dx—π∫₀¹y²dx=π∫₀¹(1一x²)dx—π∫_π/2⁰sin⁶tdcos³t =[*]－π∫_π/2⁰sin⁶t·3cos²t(一sint)dt=[*]一3π∫₀^π/2sin⁷t(1一sin²t)dt =[*]－3π∫₀^π/2sin⁷tdt+3π∫₀^π/2sin⁹tdt =[*] (Ⅱ)由式(1．3．5．2)得到 S₁=∫₀¹2π．y[*]dx=2π∫₀¹[*]=2π．由y=(1一x^2/3)^3/2得到 (y′)²=[*]=1．于是[*]，则 S₂=2π∫₀¹y[*]dt=2π∫₀¹(1一x^2/3)^3/2·x^1/3dx =2π∫_π/2⁰sin³t cos^-1t·3 cos²t(—sint)dt =6π∫₀^π/2sin⁴tcostdt=6π∫₀^π/2sin⁴tdsint =6π[*] 故D绕x轴旋转一周所得的表面积为S=S₁+S₂=2π+[*].

解析

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考研数学二

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[2016年] 设D是由曲线y=(0≤x≤1)与围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积．

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