设f=XTAX，g=XTBX是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )

admin2016-03-05 44

问题设f=X^TAX，g=X^TBX是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )

选项 A、X^T(A+B)X
B、X^TA^一1X
C、X^TB^一1X
D、X^TABX．

答案D

解析因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，所以A的n个特征值λ₁，λ₂，…，λ_n都大于零，{A｜＞0，设AP_j=λ_jP_j，则

，A^一1的n个特征值

(j=1，2，…，n)必都大于零，这说明A^一1为正定阵，X^TA^一1X为正定二定型．同理，X^TB^一1X为正定二次型，对任意n维非零列向量X都有X^T(A+B)X=X^TAX+X^TBX＞0，这说明X^T(A+B)X为正定二次型．由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以X^TABX未必为正定二次型．

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