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已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),其中α1,α2,α3,α4均为4维列向量,且α2,α3,α4线性无关,α1=2α2-α3.如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组Ax=β的通解.
已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),其中α1,α2,α3,α4均为4维列向量,且α2,α3,α4线性无关,α1=2α2-α3.如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组Ax=β的通解.
admin
2020-04-30
21
问题
已知4阶方阵A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),其中α
1
,α
2
,α
3
,α
4
均为4维列向量,且α
2
,α
3
,α
4
线性无关,α
1
=2α
2
-α
3
.如果β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
,求线性方程组Ax=β的通解.
选项
答案
解法1:由α
2
,α
3
,α
4
线性无关和α
1
=2α
2
-α
3
知矩阵A的秩为3,因此Ax=0的基础解系中只有一个解向量. 由α
1
-2α
2
+α
3
+0α
4
=0得(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)[*],即齐次线性方程组Ax=0的基础解系为[*],再由 [*] 知[*]为非齐次线性方程组Ax=β的一个特解,于是Ax=β的通解为 [*] 解法2:令[*]得 x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
将α
1
=2α
2
-α
3
代入上式,整理后得 (2x
1
+x
2
-3)α
2
+(-x
1
+x
3
)α
3
+(x
4
-1)α
4
=0. 由α
2
,α
3
,α
4
线性无关,知 [*] 解此方程组得 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8bv4777K
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考研数学一
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