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证明曲线Г:x=aetcost,y=aetsint,z=aet与锥面S:x2+y2=z2的各母线(即锥面上点(x,y,z)与顶点的连线)相交的角度相同,其中a为常数.
证明曲线Г:x=aetcost,y=aetsint,z=aet与锥面S:x2+y2=z2的各母线(即锥面上点(x,y,z)与顶点的连线)相交的角度相同,其中a为常数.
admin
2020-03-05
37
问题
证明曲线Г:x=ae
t
cost,y=ae
t
sint,z=ae
t
与锥面S:x
2
+y
2
=z
2
的各母线(即锥面上点(x,y,z)与顶点的连线)相交的角度相同,其中a为常数.
选项
答案
曲线Г的参数方程满足x
2
+y
2
=z
2
,于是Г在锥面S上,Г上任一点(x,y,z)处的母线方向l={x,y,z},切向量 T={x′,y′,z′}={ae
t
(cost-sint),ae
t
(cOst+sint),ae
t
}={x-y,x+y,z}. 因此[*] 即曲线Г与锥面S的各母线相交的角度相同.
解析
先求Г的切向量T={x′(t),y′(t),z′(t)}以及锥面上点(x,y,z)的母线方向,即它与锥的顶点(0,0,0)的连线方向l=(x,y,z),最后考察cos(T,l).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/V0S4777K
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考研数学一
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