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  3. 设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且f(x)=－1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．

设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且f(x)=－1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．

admin2018-05-21  49
问题 设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且f(x)=－1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．
选项
答案因为f(x)在[0，1]上二阶可导，所以f(x)在[0，1]上连续且f(0)=f(1)=0，[*]f(x)=－1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在c∈(0，1)，使得f(c)=－1，再由费马定理知f’(c)=0， 根据泰勒公式 f(0)=f(c)+f’(c)(0－c)+[*](0－c)2，ξ1∈(0，C) f(1)=f(c)+f’(c)(1－c)+[*](1－c)2，ξ2∈(c，1) 整理得 f"(ξ1)=2／c2，f"(ξ2)=2／(1－c)2． 当c∈(0，1／2]时，f"(ξ1)=2／c2≥8，取ξ=ξ1； 当c∈(1／2，1)时，f"(ξ2)=2／(1－c)2≥8，取ξ=ξ2． 所以存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．
解析
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考研数学一

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