溶液从深18 cm，顶圆直径12 cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10 cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液．已知当溶液在漏斗中高为12 cm时，其表面下降的速度为1 cm／min．问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?

admin2011-11-19 39

问题溶液从深18 cm，顶圆直径12 cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10 cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液．已知当溶液在漏斗中高为12 cm时，其表面下降的速度为1 cm／min．问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?

选项

答案设时刻t时，漏斗中液表高度H＝H(t)，圆柱形筒中液面高度为h(t)，两容积中液体体积和为常数V(即t＝0时，原漏斗中液体体积)，则 π／3×(H／3)³×H＋π×5²×h＝V，对时间t求导数，得 π／9H²×Hˊ(t)＋25hˊ(t)＝0，将H＝12，Hˊ(t)＝－1代人上式得 hˊ(t)＝0．64 cm／min．

解析

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考研数学三

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溶液从深18 cm，顶圆直径12 cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10 cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液．已知当溶液在漏斗中高为12 cm时，其表面下降的速度为1 cm／min．问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?

考研数学三

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