设f(x)在[1，＋∞)内可导，f’(x)＜0且＝a＞0，令an＝－.证明：{an}收敛且0≤≤f(1)．

admin2015-07-24 44

问题设f(x)在[1，＋∞)内可导，f’(x)＜0且

＝a＞0，令a_n＝

－

.证明：{a_n}收敛且0≤

≤f(1)．

选项

答案因为f’(x)＜0，所以f(x)单调减少．又因为a_n＋1一a_n＝f(n＋1)一[*]＝f(n＋1)一f(ξ)≤0(ξ∈[n，n＋1)，所以{a_n}单调减少．因为a_n＝[*][f(k)－f(x)]dx＋f(n)，而[*][f(k)－f(x)]dx≥0(k＝1，2，…，n－1) 且[*]＝a＞0，所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0．由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1，＋∞))，故a_n≥f(n)＞0，所以[*]存在．由a_n＝f(1)＋[*]，而f(k)一[*]≤0(k＝2，3，…，n)，所以a_n≤f(1)，从而0≤[*]≤f(1)．

解析

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考研数学一

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