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  3. 设f(x)在[1，＋∞)内可导，f’(x)＜0且＝a＞0，令an＝－.证明：{an}收敛且0≤≤f(1)．

设f(x)在[1，＋∞)内可导，f’(x)＜0且＝a＞0，令an＝－.证明：{an}收敛且0≤≤f(1)．

admin2015-07-24  38
问题 设f(x)在[1，＋∞)内可导，f’(x)＜0且＝a＞0，令an＝－.证明：{an}收敛且0≤≤f(1)．
选项
答案因为f’(x)＜0，所以f(x)单调减少． 又因为an＋1一an＝f(n＋1)一[*]＝f(n＋1)一f(ξ)≤0(ξ∈[n，n＋1)， 所以{an}单调减少． 因为an＝[*][f(k)－f(x)]dx＋f(n)，而[*][f(k)－f(x)]dx≥0(k＝1，2，…，n－1) 且[*]＝a＞0，所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0． 由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1，＋∞))，故an≥f(n)＞0，所以[*]存在． 由an＝f(1)＋[*]， 而f(k)一[*]≤0(k＝2，3，…，n)，所以an≤f(1)，从而0≤[*]≤f(1)．
解析
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考研数学一

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