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二次型f(χ1,χ2,χ3)=XTAX在正交变换X=QY下化为y12+y22,Q的第3列为①求A.②证明A+E是正定矩阵.
二次型f(χ1,χ2,χ3)=XTAX在正交变换X=QY下化为y12+y22,Q的第3列为①求A.②证明A+E是正定矩阵.
admin
2019-05-11
48
问题
二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=X
T
AX在正交变换X=QY下化为y
1
2
+y
2
2
,Q的第3列为
①求A.②证明A+E是正定矩阵.
选项
答案
①条件说明 Q
-1
AQ=Q
T
AQ=[*] 于是A的特征值为1,1,0,并且Q的第3列=[*](1,0,1)
T
是A的特征值为。的特征向量.记α
1
=(1,0,1)
T
,它也是A的特征值为0的特征向量. A是实对称矩阵,它的属于特征值1的特征向量都和α
1
正交,即是方程式χ
1
+χ
3
=0的非零解. α
2
=(1,0,-1)
T
,α
3
=(0,1,0)
T
是此方程式的基础解系,它们是A的特征值为1的两个特征向量. 建立矩阵方程 A(α
1
,α
2
,α
3
)=(0,α
2
,α
3
), 两边做转置,得 [*] 解此矩阵方程 [*] ②A+E也是实对称矩阵,特征值为2,2,1,因此是正定矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/98V4777K
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考研数学二
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