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若f”(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x2+y2=2,则函数f(x)在区间(1,2)内( )
若f”(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x2+y2=2,则函数f(x)在区间(1,2)内( )
admin
2019-07-12
66
问题
若f”(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x
2
+y
2
=2,则函数f(x)在区间(1,2)内( )
选项
A、有极值点,无零点.
B、无极值点,有零点.
C、有极值点,有零点.
D、无极值点,无零点.
答案
B
解析
由题意可知,f(x)是一个凸函数,即f”(x)<0,且在点(1,1)处的曲率
而f’(1)=一1,由此可得,f”(1)=一2.
在[1,2]上,f’(x)≤f’(1)=一1<0,即f(x)单调减少,没有极值点.
由拉格朗日中值定理f(2)-f(1)=f’(ζ)<一1,ζ∈(1,2),由f(1)=1>0,因此f(2)<0.
由零点定理知,在[1,2]上,f(x)有零点.故应选B.
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考研数学三
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