已知三元二次型xTz的平方项系数都为0，α=（1，2，一1）T满足Aα=2α． ①求xTAx的表达式． ②求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型．

admin2016-07-29 47

问题已知三元二次型x^Tz的平方项系数都为0，α=（1，2，一1）^T满足Aα=2α．
①求x^TAx的表达式．
②求作正交变换x=Qy，把x^TAx化为标准二次型．

选项

答案[*] 得2a一b=2，a一c=4，b+2c=一2，解出a=b=2，c=一2．此二次型为4x₁x₂+4x₁x₃—4x₂x₃． ②先求A特征值 [*] 于是A的特征值就是2，2，一4．再求单位正交特征向量组．属于2的特征向量是(A一2E)x=0的非零解． [*] 得(A一2E)x=0的同解方程组：x₁一x₂一x₃=0．显然β₁：(1，l，0)^T是一个解，设第二个解为β₂=(1，一l，c)^T(这样的设定保证了两个解是正交的!)，代入方程得c=2，得到属于特征值2的两个正交的特征向量β₁，β₂．再把它们单位化：记η₁：β₁／||β₁||=[*] η₂=β₂／||β₂||=[*] 属于一4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解．求出β₃=(1，一1，一1)^T是一个解，单位化：记 η₃=β₃／||β₃||=[*] 则η₁，η₂，η₃是A的单位正交特征向量组，特征值依次为2，2，一4．作正交矩阵Q=(η₁，η₂，η₃)，则Q^一1AQ是对角矩阵，对角线上的元素为2，2，一4．作正交变换x=Qy，它把f(x₁，x₂，x₃)化为2y₁²+2y₂²一4y₃²．

解析

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考研数学三

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