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  3. 求函数f(x)＝∫1x2(x2－t)e－t2dt的单调区间与极值。

求函数f(x)＝∫1x2(x2－t)e－t2dt的单调区间与极值。

admin2014-01-26  59
问题 求函数f(x)＝∫1x2(x2－t)e－t2dt的单调区间与极值。
选项
答案f(x)＝∫1x2(x－t2)e－t2dt＝x2∫1x2e－t2dt－∫1x2te－t2dt f’(x)＝2x∫1x2ee－t2dt＋2x3e－x4－2x3e－x4＝2x∫1x2e－t2dt 令f’(x)＝0，得x＝0，x＝±1． 因为当x＞1时，f’(x)＞0：当0＜x＜1时，f’(x)＜0；当－1＜x＜0时，f’(x)≥0；当x＜－1时，f’(x)＜0． 所以，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(0，1)；f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)；极小值为f(1)＝f(－1)＝0，极大值为 f(0)＝∫10(0－t)et2＝[*]．
解析 [分析]  求变限积分f(x)的一阶导数，利用其符号判断极值并求单调区间．
[评注]  也可用二阶导数的符号判断极值点，此题属基本题型．
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考研数学二

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